[ 기초수학 ] 계차수열

[개념]

• 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 또 다른 수열

계차 수열이 공차가 2인 등차 수열이다.

• 계차 수열을 이용해서 수열의 일반항을 구할 수  있다.

$$ \{b_n\}\ :\ 계차수열,\ \ \ \{a_n\}\ :\ 수열의 일반항$$

$$ b_1=a_{2}-a_{1} $$

$$ b_2=a_{3}-a_{2} $$

$$ ... $$

$$ ... $$

$$ b_{n-1} = a_{n}-a_{n-1} $$

계차수열 합 구할 때, n-1까지만 더함에 유의하자!!

 

$$ \therefore \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Sigma}} b_k = a_n-a_1$$

$$ a_n = a_1 + \underset{k=1}{\overset{n-1}\Sigma}b_k $$

 

$$ \because b_n = b_1+(n-1)*d $$

$$ \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Sigma}} b_k = (n-1)*(b_1 + b_{n-1})/2 $$

$$ \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Sigma}} b_k = (n-1)*(2*b_1 + (n-2)*d )/2 $$

 

 

따라서 일반항은

$$ a_n = a_1 + (n-1)*(2*b_1 + (n-2)*d )/2 $$

 

위 예시에서 일반항은

$$a_n=0 + (n-1)*(6+(n-2)*2)/2$$

$$a_n= n^2 -1$$

 

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[실습1] 공식 없이 계차수열과 수열 일반항 구하기

a1 = int(input('수열의 초항 입력 : '))
n = int(input('몇번째 항까지 궁금하세요? : '))
b1 = int(input('계차수열의 초항 입력 : '))
d = int(input('계차수열의 공차 입력 : '))

k = 1
while k <= n :
    if k == 1 :
        a = a1
        b = b1
        print('a의 {}번째 값은 {}'.format(k,a))
        print('b의 {}번째 값은 {}'.format(k,b))
        print('------------------------------')
        k += 1
        continue
    a += b
    b += d
    print('a의 {}번째 값은 {}'.format(k,a))
    print('b의 {}번째 값은 {}'.format(k,b))
    print('------------------------------')
    
    k += 1

'''
수열의 초항 입력 : 3
몇번째 항까지 궁금하세요? : 7
계차수열의 초항 입력 : 4
계차수열의 공차 입력 : 2
a의 1번째 값은 3
b의 1번째 값은 4
------------------------------
a의 2번째 값은 7
b의 2번째 값은 6
------------------------------
a의 3번째 값은 13
b의 3번째 값은 8
------------------------------
a의 4번째 값은 21
b의 4번째 값은 10
------------------------------
a의 5번째 값은 31
b의 5번째 값은 12
------------------------------
a의 6번째 값은 43
b의 6번째 값은 14
------------------------------
a의 7번째 값은 57
b의 7번째 값은 16
------------------------------
'''

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[실습2] 공식 가지고 계차수열과 수열 일반항 구하기

a1 = int(input('수열의 초항 입력 : '))
n = int(input('몇번째 항까지 궁금하세요? : '))
b1 = int(input('계차수열의 초항 입력 : '))
d = int(input('계차수열의 공차 입력 : '))

b = b1 + d*(n-1)
a = a1 + (n-1)*(2*b1+d*(n-2))//2

print('{}번째 계수수열과 수열의 일반항은 {} 와 {} 입니다.'.format(n,b,a))코드

'''
수열의 초항 입력 : 3
몇번째 항까지 궁금하세요? : 7
계차수열의 초항 입력 : 4
계차수열의 공차 입력 : 2
7번째 계수수열과 수열의 일반항은 16 와 57 입니다.
'''