[선형대수학] 벡터

 

Vector

• 공간에서의 한 점, 원점으로부터의 "상대적" 위치
• 벡터는 크기와 방향이다.
• 동쪽으로 5m per hour (Velocity  => Vector)
• $\vec{V} = (5, 0) = \left[ {\begin{array} {cc} 5 \\ 0 \end{array}} \right] $

위치만 다를 뿐, 같은 벡터이다.

 

 

Vector의 덧셈

• 다른 벡터로부터 상대적 위치 이동
• $ \vec{a} + \vec{b}$ 이면, 원점으로부터 $\vec{a}$ 만큼 갔다가 거기서 $\vec{b}$ 만큼 이동.
• $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
• $ \left[ {\begin{array} {cc} 3 \\ 2 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array} {cc} -2 \\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array} {cc} 1 \\ 3 \end{array}} \right] $

 

Vector의 뺄셈

• $\vec{a} - \vec{b}$ 이면, $\vec{b}$ 위치에서 $\vec{a}$ 로 이어지는 형태
• $ \left[ {\begin{array} {cc} 3 \\ 2 \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array} {cc} -2 \\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array} {cc} 5 \\ 1 \end{array}} \right] $

 

UNIT Vector

• 크기가 1인 벡터
• ex) $ \vec{v} =  \left[ {\begin{array} {cc} 2 \\ 3 \end{array}} \right] $ 을 Unit Vector로 표현하면?
  • $ \vec{v} = 2i + 2j $, subject to. $i = \left[ {\begin{array} {cc} 1 \\ 0 \end{array}} \right] $, $ j = \left[ {\begin{array} {cc} 0 \\ 1 \end{array}} \right] $
  • $ \sqrt {1} = \sqrt {2^2 a^2 + 3 ^2 a^2} = \sqrt {13} a $
    $ a = \frac {1}{\sqrt 13} $
    $ \vec{v} = \sqrt 13 i $, subject to $ i = \left[ {\begin{array} {cc} \frac {2} {\sqrt 13} \\ \frac {3} {\sqrt 13} \end{array}} \right] $
• 위와 같이 2개 단위 벡터의 합으로 표현할 수도 있고, 단일 단위 벡터의 스칼라 연산으로 표현할 수도 있다.

 

직선의 매개 변수 표현

Set Colinear Vectors

$$S = \{c \vec v | c \in \mathbb{R} \} $$

 

 

If $ \vec v = \left[ {\begin{array} {cc} 2 \\ 1 \end{array}} \right] $, $ \vec x = \left[ {\begin{array} {cc} 2 \\ 4 \end{array}} \right] $ ( v는 slope vector )

 

General한 표현

$$ L = \{ \vec x + t \vec v | t \in \mathbb{R} \} $$

Specific한 표현

$$ y = mx + b | \mathbb{R^2} $$

 

$\mathbb{R^3}$ 과 같이 2차원보다 큰 n-dimeensional Real Coordinates Space 에서부터는 Specific한 방식으로  직선을 표현할 수 없기 때문에, 매개 변수 방정식이 직선을 표현하는 유일한 방법이 되게 됩니다.

 

• ex) 비행기의 방향 찾기
  
  • $ \vec{p}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix} $, $ \vec{p}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}  $ in $ \mathbb{R^3} $
  • $L = \{ \vec{p_1} + t(\vec{p_1} - \vec{p_2}) | t \in \mathbb{R^3} \}$

 

예제 문제

 

 

 

 

 

 

출처 : 칸아카데미